Dział cały czas rozbudowywany, wkrótce więcej treści

Geometria analityczna - wzory

Można zadać sobie pytanie, czym jest geometria analityczna?

I możemy odpowiedzieć na to pytanie bardzo matematycznie, że jest to dział geometrii który bada figury geometryczne metodami obliczeniowymi /analitycznymi. Jednakże łatwiej jest stwierdzić, iż jest to dział matematyki który to zajmuje się figurami umieszczonymi w układzie współrzędnych.

„Suche” wzory z geometrii analitycznej każdy z was może znaleźć w tablicach matematycznych. Lepiej przedstawić ich zastosowanie na przykładach. I tak niektóre ze wzorów przedstawimy także w formie filmików z ich zastosowaniem.

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Dany jest odcinek o końcach A=(x_A,y_A) oraz B=(x_B,y_B). Aby obliczyć jego długość korzystamy ze wzoru:

    \[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Wzór ten łatwo zrozumieć, gdyż wynika on z twierdzenia Pitagorasa. Dla przykładu niech A=(-2,4) oraz B=(4,-4)

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Podstawmy do wzoru współrzędne naszych punktów. Będziemy mieli:

    \[|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-4-4)^2}\]

    \[|AB|=\sqrt{6^2+8^2}\]

Łatwo zauważyć, że w powyższym wzorze liczba 6 jest równa długości przyprostokątnej AC, a wartość 8 odpowiada długości przyprostokątnej BC. Ostatecznie mamy więc:

    \[|AB|=\sqrt{100}=10\]

Środek odcinka w układzie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka o końcach A=(x_A,y_A) oraz B=(x_B,y_B) obliczamy ze wzoru:

    \[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{x_A+x_B}{2} \right)\]

.

Środek odcinka w układzie współrzędnych

Przykład: Punkt S=(1,-3)  jest środkiem odcinka AB. Oblicz współrzędne punktu B wiedząc, że A=(-4,2).

Niech B=(x_B,y_B). Korzystając z wzoru na środek odcinka, mamy:

(1,-3)=\left(\frac{-4+x_B}{2},\frac{2+y_B}{2}\right).

Mamy więc układ równań:

\begin{cases} 1= \frac{-4+x_B}{2} ~~/\cdot 2 \\ -3 =\frac{2+y_B}{2}~~/\cdot 2\right)  \end{cases}

\begin{cases} 2= -4+x_B ~~/+4\\ -6 =2+y_B~~/-2  \end{cases}

\begin{cases} 6= x_B \\ -8 =y_B  \end{cases}

Zatem B=(6,-8)